Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=13\\x-5y-2=0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}26y^2+26y=0\\x=5y+2\end{cases}\)

                                            \(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\\\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}\end{cases}\)
\(\Rightarrow A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\) hoặc \(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\)

Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của đường tròn (C). Hay tâm \(I\left(-1;2\right)\) là trung điểm của AC

Khi đó : \(A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\Rightarrow C\left(-4;4\right)\)

            \(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\Rightarrow C\left(1;5\right)\)

Vậy \(C\left(-4;4\right)\) hoặc \(C\left(1;5\right)\)

xfgb

1: x^2+y^2+6x-2y=0

=>x^2+6x+9+y^2-2y+1=10

=>(x+3)^2+(y-1)^2=10

=>R=căn 10; I(-3;1)

Vì (d1)//(d) nên (d1): x-3y+c=0

Theo đề, ta có: d(I;(d1))=căn 10

=>\(\dfrac{\left|-3\cdot1+1\cdot\left(-3\right)+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}=\sqrt{10}\)

=>|c-6|=10

=>c=16 hoặc c=-4

Gọi C là giao điểm của AB và \(\Delta\), O là giao điểm IM và AB

Gọi \(I=\left(m;n\right)\Rightarrow IM:x-3y-m+3n=0\)

\(M:\left\{{}\begin{matrix}x-3y-m+3n=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(\dfrac{m-3n}{4};\dfrac{3n-m}{4}\right)\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{\left(\dfrac{m-3n}{4}-m\right)^2+\left(\dfrac{3n-m}{4}-n\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}\left|m+n\right|}{4}\)

\(d\left(I,\Delta\right)=\dfrac{\left|m+n\right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow\left|m+n\right|=4\left(1\right)\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{10}\)

Ta có \(IO.IM=IA^2=R^2\Rightarrow IO=\dfrac{IB^2}{IM}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\)

\(d\left(I;AB\right)=\dfrac{\left|3m+n-2\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\Rightarrow\left|3m+n-2\right|=4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\&\left(2\right)\) tìm được tọa độ điểm I

Đến đây viết phương trình đường tròn tâm I có bán kính \(R=\sqrt{2}\) là được.

a: �(�;�)=∣0⋅1+(−2)⋅1−4∣12+12=62=32d(A;d)=12+12​∣0⋅1+(−2)⋅1−4∣​=2​6​=32​

b: Vì a//Δ nên a: x+y+c=0

Thay x=-1 và y=0 vào a, ta được:

c-1+0=0

=>c=1

c: Vì b vuông góc Δ nên b: -x+y+c=0

Thay x=0 và y=3 vào b, ta được:

c-0+3=0

=>c=-3

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(N\left( {1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN}  = \left( {0;2} \right)\) làm vecto pháp tuyến là \(y = 0\).

a) \(y+1=0\) hay \(15x+8y-112=0\)

b) \(MN=\dfrac{30}{\sqrt{34}}\)